- Seorang mahasiswa akan menempuh ujian 5 mata kuliah. Dosen memberikan 10 alternatif waktu untuk ujian tersebut. Ada berapa cara yang berbeda penentuan waktu ujian bagi mahasiswa tersebut, jika urutan mata kuliah tidak doperhatikan?
- Seorang pegawai perpuatakaan akan mengatur 9 buku, 3 di antaranya berwarna merah pada rak buku. Ada berapa cara pegawai tersebut dapat mengatur buku itu bila: (a) 3 buku berwarna merah selalu berdampingan; (b) 3 buku yang berwarna merah itu tidak boleh berdampingan?
- Suatu panitia akan dibentuk dengan 6 orang. Berapa cara pembentukan panitia itu dapat dilakukan kalau calon anggota terdiri dari 5 orang lelaki san 3 orang perempuan, dan panitia harus: (a) ternentuk tanpa persyaratan lain; (b) terdiri dari 4 lelaki dan 2 perempuan; (c) terdiri dari 3 lelaki dan 3 perempuan; (d) terdiri paling sedikit 2 lelaki?
- Sebuah plat nomor kendaraan terdiri atas satu huruf, empat angka, dan dua huruf. Huruf dan angka masing-masing tidak boleh sama. Berapa banyak plat nomor kendaraan yang dapat dibuat apabila angka nol tidak digunakan?
- Sekelompok wisatawan terdiri atas empat orang lelaki dan empat orang perempuan. Kemudian mereka makan di sebuah restoran. Berapa banyak susunan tempat duduk yang bsa dilakukan, jika: (a) mereka duduk satu baris; (b) lelaki dan perempuan masing-masing duduk berdampingan; (c) hanya lelaki saja yang duduk berdampingan; (d) hanya perempuan saja yang duduk berdampingan; (e) mereka duduk berselang-seling; (f) seorang lelaki dan seorang perempuan tertentu selalu duduk berdampingan?
Rabu, 23 Februari 2011
Teknik Membilang (TEORI PELUANG)
Jumat, 03 Desember 2010
123 Kata Mutiara Motivasi Hidup
Pesan dalam kumpulan kata-kata mutiara Motivasi Hidup ini tidak akan pernah menyentuh jiwa yang kerdil, pemalas, pesimis, mudah patah semangat, tidak percaya diri, serta tidak memiliki cita-cita.
- Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan (Robert F. Kennedy)
Setiap pria dan wanita sukses adalah pemimpi-pemimpi besar. Mereka berimajinasi tentang masa depan mereka, berbuat sebaik mungkin dalam setiap hal, dan bekerja setiap hari menuju visi jauh ke depan yang menjadi tujuan mereka (Brian Tracy)
Percayalah pada keajaiban, tapi jangan tergantung padanya (H. Jackson Brown, Jr)
Rayulah aku, dan aku mungkin tak mempercayaimu. Kritiklah aku, dan mungkin aku tak menyukaimu. Acuhkan aku, dan aku mungkin tak memaafkanmu. Semangatilah aku, dan aku mungkin takkan melupakanmu (William Arthur)
Jika Anda membuat seseorang bahagia hari ini, Anda juga membuat dia berbahagia dua puluh tahun lagi, saat ia mengenang peristiwa itu (Sydney Smith)
Manusia yang paling lemah adalah orang yang tidak mampu mencari teman. Namun yang lebih lemah dari itu adalah orang yang mendapatkan banyak teman tetapi menyia-nyiakannya. (Ali bin Abi Thalib)
Jangan segan untuk mengulurkan tangan Anda. Tetapi, jangan juga segan untuk menjabat tangan orang lain yang datang pada Anda (Pope John XXIII)
Alam memberi kita satu lidah, akan tetapi memberi kita dua telinga, agar kita mendengar dua kali lebih banyak daripada berbicara (La Rouchefoucauld)
Sahabat paling baik dari kebenaran adalah waktu, musuhnya yang paling besar adalah prasangka, dan pengiringnya yang paling setia adalah kerendahan hati (Caleb CC.)
Kebahagiaan tergantung pada apa yang dapat Anda berikan, bukan pada apa yang Anda peroleh (Mohandas Ghandi)
Kegagalan tidak diukur dari apa yang telah Anda raih, namun kegagalan yang telah Anda hadapi, dan keberanian yang membuat Anda tetap berjuang melawan rintangan yang bertubi-tubi (Orison Swett Marden)
Dan bahwa setiap pengalaman mestilah dimasukkan ke dalam kehidupan, guna memperkaya kehidupan itu sendiri. Karena tiada kata akhir untuk belajar seperti juga tiada kata akhir untuk kehidupan (Annemarie S.)
Urusan kita dalam kehidupan bukanlah untuk melampaui orang lain, tetapi untuk melampaui diri sendiri, untuk memecahkan rekor kita sendiri, dan untuk melampaui hari kemarin dengan hari ini (Stuart B. Johnson)
Saya telah mempelajari kehidupan pria-pria besar dan wanita-wanita terkenal, dan saya menemukan bahwa mereka yang mencapai puncak keberhasilan adalah mereka yang melakukan pekerjaan-pekerjaan yang ada di hadapan mereka dengan segenap tenaga, semangat dan kerja keras (Harry S. Truman)
Sebagian orang mengatakan kesempatan hanya datang satu kali, itu tidak benar. Kesempatan itu selalu datang, tetapi Anda harus siap menanggapinya (Louis L’amour)
Kegagalan dapat dibagi menjadi dua sebab. Yakni orang yang berpikir tapi tidak pernah bertindak dan orang yang bertindak tapi tidak pernah berpikir (W.A. Nance)
Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti diri Anda adanya (Victor Hugo)
Jika kita memulainya dengan kepastian, kita akan berakhir dalam keraguan, tetapi jika kita memulainya dengan keraguan, dan bersabar menghadapinya, kita akan berakhir dalam kepastian (Francis Bacon)
Jangan melihat masa lalu dengan penyesalan, jangan pula melihat masa depan dengan ketakutan, tapi lihatlah sekitarmu dengan penuh kesadaran (James Thurber)
Orang-orang menjadi begitu luar biasa ketika mereka mulai berpikir bahwa mereka bisa melakukan sesuatu. Saat mereka percaya pada diri mereka sendiri, mereka memiliki rahasia kesuksesan yang pertama (Norman Vincent Peale)
Kebahagiaan akan tumbuh berkembang manakala Anda membantu orang lain. Namun bilamana Anda tidak mencoba membantu sesama, kebahagiaan akan layu dan mengering. Kebahagiaan bagaikan sebuah tanaman, harus disirami tiap hari dengan sikap dan tindakan memberi (J. Donald Walters)
Sedikit sekali orang yang memiliki hartanya sendiri. Hartalah yang memiliki mereka (Robert G. Ingersoll)
Hidup adalah sebuah tantangan, maka hadapilah. Hidup adalah sebuah nyanyian, maka nyanyikanlah. Hidup adalah sebuah mimpi, maka sadarilah. Hidup adalah sebuah permainan, maka mainkanlah. Hidup adalah cinta, maka nikmatilah (Bhagawan Sri Sthya Sai Baba)
Orang yang bahagia bukanlah pada lingkungan tertentu, melainkan orang dengan sikap-sikap tertentu (Hugh Downs)
Jangan takut untuk mengambil satu langkah besar bila memang itu diperlukan. Anda tak akan bisa melompati jurang dengan dua lompatan kecil (David Lloyd George)
Tak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan (General Collin Power)
Kita menilai diri kita dengan mengukur dari apa yang kita rasa mampu untuk kerjakan, orang lain mengukur kita dengan mengukur dari adap yang telah kita lakukan (Henry Wadsworth Longfellow)
Pengalaman bukan apa yang terjadi pada Anda, melainkan apa yang Anda lakukan atas apa yang terjadi pada Anda (Aldous Huxley)
Sukses seringkali datang pada mereka yang berani bertindak, dan jarang menghampiri penakut yang tidak berani mengambil konsekuensi (Jawaharlal Nehru)
Orang yang luar biasa itu sederhana dalam ucapan, tetapi hebat dalam tindakan (Confusius)
Kita tidak tahu bagaimana hari esok, yang bisa kita lakukan adalah berbuat sebaik-baiknya dan berbahagia hari ini (Samuel Taylor Colleridge)
Amatlah sedikit yang diper@ = WHU P}G \P lukan untuk membuat suatu kehidupan yang membahagiakan, semuanya ada di dalam diri Anda, yaitu di dalam cara berpikir dan bersikap (Fred Corbett)
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert Hubbad)
Kebanggan kita yang terbesar bukan karena tidak pernah gagal, tetapi bangkit kembali setiap kita jatuh (Confusius)
Tiadanya keyakinanlah yang membuat orang takut menghadapi tantangan, dan saya percaya pada diri saya sendiri (Muhammad Ali)
Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang tidak menyadari betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan, saat mereka menyerah (Thomas Alfa Edison)
Semua orang tidak perlu malu karena berbuat kesalahan, selama ia menjadi lebih bijaksana dari sebelumnya (Alexander Pope)
Kita berdoa jika kesusahan dan membutuhkan sesuatu, mestinya kita juga berdoa dalam kegembiraan besar dan rezeki melimpah (Khalil Gibran)
Bagian terbaik dari seseorang adalah perbuatan-perbuatan baiknya dan kasihnya yang tidak diketahui orang lain (William Wordsworth)
Hiduplah seperti pohon katepi jalan dan dilempari dengan batu, tapi membalas dengan buah (Abu Bakar Sibli)
Apabila kamu tidak bisa berbuat kebaikan kepada orang lain dengan kekayaanmu, maka berilah mereka kebaikan dengan wajahmu yang berseri-seri, disertai akhlak yang baik (Nabi Muhammad Saw.)
Keramahtamahan dalam perkataan menciptakan keyakinan, keramahtamahan dalam pemikiran menciptakan kedamaian, keramahtamahan dalam memberi menciptakan kasih (Lao Tse)
Kaca, porselen, dan nama baik, adalah sesuatu yang gampang sekali pecah, dan tak akan dapat direkatkan kembali tanpa bekas yang nampak (Benjamin Franklin)
Kita melihat kebahagiaan itu seperti pelangi, tidak pernah berada di atas kepala kita sendiri, tetapi selalu berada di atas kepala orang lain (Thomas Hardy)
Bersikaplah kukuh seperti batu karang yang tidak putus-putusnya dipukul ombak. Ia tidak saja tetap berdiri kukuh, bahkan ia menentramkan amarah dan gelombang itu (Marcus Aurelius)
Karena manusia cinta akan dirinya, tersembunyilah baginya aib dirinya. Tidak kelihatan olehnya walaupun nyata. Kecil di pandangnya walau bagaimana pun besarnya (Jalinus At Thabib)
Jika orang berpegang pada keyakinan, maka hilanglah kesangsian. Tetapi, jika semua orang mulai berpegang pada kesangsian, maka hilanglah keyakinan (Sir Francis Bacon)
Perbuatan-perbuatan salah adalah biasa bagi manusia, tetapi perbuatan pura-pura itulah sebenarnya yang menimbulkan permusukan dan pengkhianatan (Johan Wolfgang Goethe)
Sesuatu yang belum dikerjakan, seringkali nampak mustahil, kita baru yakin kalau kita telah melakukannya dengan baik (Evelyn Underhill)
Musuh yang paling berbahaya di atas dunia ini adalah penakut dan bimbang. Teman yang paling setia, hanyalah keberanian dan keyakinan yang teguh (Andrew Jackson)
Kebanyakan dari kita tidak mensyukuri apa yang sudah kita miliki, tetapi kita menyesali apa yang belum kita capai (Schopenhauer)
Orang-orang yang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka menyukainya atau tidak (Aldus Huxley)
Orang-orang hebat di bidang apapun bukan baru bekerja karena mereka terinspirasi, namun mereka menjadi terinspirasi karena mereka lebih suka bekerja. Mereka tidak menyia-nyiakan waktu untuk menunggu inspirasi (Ernest Newman)
Belajarlah dari kesalahan orang lain. Anda tak dapat hidup cukup lama untuk melakukan semua kesalahan itu sendiri (Martin Vanbee)
Dalam masalah hati nurani, pikiran pertama lah yang terbaik. Dalam masalah kebijaksanaan, pemikiran terakhirlah yang terbaik (Robert Hall)
Cara untuk menjadi di depan adalah memulai sekarang. Jika memulai sekarang, tahun depan Anda akan tahu banyak hal yang sekarang tidak diketahui, dan Anda tidak akan mengetahui masa depan jika Anda menunggu (William Feather)
Pahlawan bukanlah orang yang berani menetakkan pedangnya ke pundak lawan, tetapi pahlawan yang sebenarnya ialah orang yang sanggup menguasai dirinya ketika ia marah (Nabi Muhammad Saw.)
Ancaman nyata sebenarnya bukan pada saat komputer mulai bisa berfikir seperti manusia, tetapi ketika manusia mulai berfikir seperti komputer (Sydney Harris)
Orang-orang yang berhasil akan mengambil manfaat dari kesalahan-kesalahan yang ia lakukan, dan akan mencoba kembali untuk melakukan dengan cara yang berbeda (Dale Carnegie)
Hati yang penuh syukur bukan saja merupakan kebajikan yang terbesar, melainkan merupakan induk dari segala kebajikan yang lain (Cicero)
Semua yang dimulai dengan rasa marah, akan berakhir dengan rasa malu (Benjamin Franklin)
Apa yang nampak sebagai suatu kemurahan hati, sering sebenarnya tiada lain adalah ambisi yang terselubung, yang mengabaikan kepentingan-kepentingan kecil untuk mengejar kepentingan-kepentingan yang lebih besar (La Roucefoucauld)
Tiga sifat manusia yang merusak adalah : kikir yang dituruti, hawa nafsu yang diikuti, serta sifat mengagumi diri sendiri yang berlebihan (Nabi Muhammad Saw.)
Kita semua hidup dalam ketegangan, dari waktu ke waktu, serta dari hari ke hari, dengan kata lain, kita adalah pahlawan dari cerita kita sendiri (Mary Mc Carthy)
Kerendahan hati menuntun pada kekuatan, bukan kelemahan. Mengakui kesalahan dan melakukan perubahan atas kesalahan adalah bentuk tertinggi dari penghormatan pada diri sendiri (John McCLoy)
Apapun tugas hidup kita, lakukanlah dengan baik. Seseorang semestinya melakukan pekerjaannya sedemikian baik sehingga mereka yang masih hidup, yang sudah mati dan yang belum lahir tidak mampu melakukannya lebih baik lagi (Marthin Luther King)
Perjuanganku lebih mudah karena mengusir penjajah, tetapi perjuanganmu lebih sulit karena melawan bangsamu sendiri (Bung Karno)
Orang-orang yang gagal dibagi menjadi dua : mereka yang berpikir gagal padahal tidak pernah melakukannya, dan mereka yang melakukan kegagalan tapi tak pernah memikirkannya (John Charles Salak)
Kegagalan adalah sesuatu yang bisa kita hindari dengan tidak mengatakan apa-apa, tidak melakukan apa-apa dan tidak menjadi apa-apa (Denis Waitley)
Persahabatan adalah hal tersulit untuk dijelaskan di dunia ini. Dan, itu bukan soal yang Anda pelajari di sekolah. Tetapi, bila Anda tidak pernah belajar makna persahabatan, Anda benar-benar tidak belajar apa pun (Muhammad Ali)
Kebaikan hati adalah ketidakmampuan untuk tetap tenteram jika ada orang lain yang merasa gelisah, ketidakmampuan merasa nyaman jika ada orang merasa tidak nyaman, ketidakmampuan untuk tetap berperasaan enak apabila seorang tetangga sedang gundah (Samuel H. Holdenson)
Maafkanlah musuh-musuh Anda, tapi jangan pernah melupakan nama-namanya (John F. Kennedy)
Hal terbaik yang bisa Anda lakukan untuk orang lain bukanlah membagikan kekayaan Anda, tetapi membantu ia untuk memiliki kekayaannya sendiri (Benjamin Disraeli)
Ada dua macam manusia di dunia ini : mereka yang mencari alasan dan mereka yang mencari keberhasilan. Orang yang mencari alasan selalu mencari alasan mengapa pekerjaannya tidak selesai, dan orang yang mencari keberhasilan selalu mencari alasan mengapa pekerjaannya dapat terselesaikan (Alan Cohen)
Cintailah orang yang kau cintai sekedarnya saja, siapa tahu, pada suatu hari kelak, ia akan berbalik menjadi orang yang kau benci. Dan bencilah orang yang kau benci sekedarnya saja, siapa tahu, pada suatu hari kelak, ia akan berbalik menjadi orang yang kau cintai (Imam Ali RA)
Sebuah tong yang penuh dengan pengetahuan belum tentu sama nilainya dengan setetes budi (Phytagoras)
Bila rahasia sebuah atom dari atom-atom tersingkap, rahasia segala benda ciptaan, baik lahir maupun batin akan tersingkap, dan kau takkan melihat pada dunia ini atau dunia yang akan datang kecuali Tuhan (Syaikh Ahmad Al-Alawi)
Lebih baik menjaga mulut Anda tetap tertutup dan membiarkan orang lain menganggap Anda bodoh, daripada membuka mulut Anda dan menegaskan semua anggapan mereka (Mark Twain)
Kepuasan terletak pada usaha, bukan pada hasil. Berusaha dengan keras adalah kemenangan yang hakiki (Mahatma Ghandi)
Hal terindah yang dapat kita alami adalah misteri. Misteri adalah sumber semua seni sejati dan semua ilmu pengetahuan (Albert Einstein)
Orang-orang yang melontarkan kritik bagi kita pada hakikatnya adalah pengawal jiwa kita, yang bekerja tanpa bayaran (Corni Ten Boom)
Sukses berjalan dari satu kegagalan ke kegagalan yang lain, tapi kita kehilangan semangat (Abraham Lincoln)
Kata yang paling indah di bibir umat manusia adalah kata “Ibu”, dan panggilan yang paling indah adalah “ibuku”. Ini adalah kata yang penuh harapan dan cinta, kata manis dan baik yang keluar dari kedalaman hati. (Kahlil Gibran)
Sahabatmu adalah kebutuhan jiwamu yang terpenuhi. Dialah ladang hatimu, yang dengan kasih kau taburi dan kau pungut buahnya penuh rasa terima kasih. Kau menghampirinya di kala hati gersang kelaparan, dan mencarinya di kala jiwa membutuhkan kedamaian. Janganlah ada tujuan lain dari persahabatan kecuali saling memperkaya jiwa (Kahlil Gibran)
Seorang pecundang tak tahu apa yang dilakukannya bila kalah, tapi sesumbar apa yang dilakukannya bila menang. Sedangkan pemenang tak berbicara apa yang akan dilakukannya bila ia menang, tetapi tahu apa yang dilakukannya bila ia kalah (Eric Berne)
Seekor burung hantu yang bijaksana duduk di sebatang dahan. Semakin banyak ia melihat, semakin sedikit ia berbicara. Semakin sedikit ia berbicara, semakin banyak ia mendengar. Mengapa kita tidak seperti burung hantu yang bijaksana itu? (Edward Hersey Richards)
Pandanglah hari ini, kemarin sudah jadi mimpi. Dan esok hanyalah sebuah visi. Tetapi, hari ini yang sungguh nyata, menjadikan kemarin sebagai mimpi kebahagiaan, dan setiap hari esok adalah visi harapan (Alexander Pope)
Jadikan deritaku sebagai kesaksian, bahwa kekuasaan seorang presiden sekalipun ada batasnya. Karena kekuasaan yang langgeng hanyalah kekuasaan rakyat. Dan di atas segalanya adalah kekuatan Yang Maha Esa (Bung Karno)
Ia akan datang, dan pergi. Seorang penguasa, pengemis atau pertapa – setiap orang yang lahir pasti mati. Menghembuskan nafas terakhir di atas tahta, atau diseret ke dalam kubur dengan tangan dan kaki terikat, apa bedanya? (Kabir)
Satu-satunya yang harus kita takuti adalah ketakutan itu sendiri (Franklin D. Rosevelt)
Saya melihat seorang pemecah batu sedang memukul sebongkah batu padas sampai seratus kali tanpa kelihatan retak sedikit pun. Tapi, pada pukulan ke seratus satu kali, batu itu pecah menjadi dua. Saya tahu bahwa bukan pukulan terakhir itu yang membelah batu, tapi semua pukulan yang sudah dilakukan sebelumnya (Jacob Riis)
Jika Anda membiarkan sesuatu yang kecil berlalu, Anda akan menemukan kedamaian yang kecil juga. Jika Anda membiarkan lebih banyak hal berlalu, Anda akan meraih lebih banyak kedamaian. Jika Anda benar-benar membiarkan seluruhnya berlalu, Anda akan mendapatkan seluruh kedamaian (Ajahn Chah)
Apa perbedaan antara hambatan dan kesempatan? Perbedaannya terletak pada sikap kita dalam memandangnya. Selalu ada kesulitan dalam setiap kesempatan dan selalu ada kesempatan dalam setiap kesulitan. (J. Sidlow Baxter)
Musisi harus menciptakan musik. Pelukis harus menggoreskan lukisannya. Penyair harus menulis sajaknya. Mereka harus melakukannya agar mencapai puncak kedamaian dalam diri mereka sendiri. Seseorang harus menjadi apa yang mereka bisa jadi (Abraham Maslow)
Meski Anda menyembunyikan pikiran buruk dalam hati Anda, tetap akan terpancar kekuatan kelam. Pikiran cinta, meskipun tak mengucapkannya, maka dunia pun akan terasa lebih terang (Ella Wheeler Wilcox)
Kadang-kadang anda dapat mengatasi sebuah situasi sulit hanya dengan bersedia memahami orang lain. Sering yang paling dibutuhkan oleh seseorang adalah mengetahui bahwa ada seorang lain yang peduli tentang bagaimana perasaannya dan berusaha memahami posisi mereka (Brian Tracy)
Orang bijak adalah dia yang hari ini mengerjakan apa yang orang bodoh akan kerjakan tiga hari kemudian (Abdullah Ibnu Mubarak)
Kesempatan Anda untuk sukses di setiap kondisi selalu dapat diukur oleh seberapa besar kepercayaan Anda pada diri sendiri (Robert Collier)
Saya tak pernah menjumpai seseorang yang menderita karena terlalu banyak bekerja. Lebih banyak orang menderita karena terlalu banyak ambisi tetapi tak cukup berusaha (Dr. James Mantague)
Nilai manusia, bukan bagaiman ia mati, melainkan bagaimana ia hidup. Bukan apa yang telah ia perolah, melainkan apa yang telah ia berikan. Bukan apa pangkatnya, melainkan apa yang telah diperbuat dengan tugas yang diberikan Tuha kepadanya (Ministry)
Perhatikan perbedaan antara apa yang terjadi bila seseorang berkata, “Saya telah gagal tiga kali”, dan apa yang terjadi bila ia berkata, “Saya orang yang gagal”. (S. I. Hayakawa)
Saat berbicara mode, berenanglah mengikuti arus. Saat berbicara prinsip, tegarlah seperti batu karang (Thomas Jefferson)
Ada dua cara untuk menjalani hidup ini dengan mudah, percaya pada segala sesuatu atau meragukan segala sesuatu. Kedua cara tersebut membebaskan kita dari berfikir (Theodore Rubin)
Hidup dengan melakukan kesalahan akan tampak lebih terhormat daripada selalu benar karena tidak melakukan apa-apa (George Bernard Shaw)
Kegagalan adalah satu-satunya kesempatan untuk memulai lagi dengan lebih cerdik (Henry Ford)
Apapun fakta yang ada di depan kita tidak lebih penting dari sikap kita dalam menghadapinya, karena itulah yang menentukan keberhasilan atau kegagalan kita (Norman Vincent Peale)
Anda adalah produk dari lingkungan Anda. Maka, pilihlah lingkungan terbaik bagi pengembangan Anda menuju tujuan-tujuan Anda. Analisalah hidup Anda melalui lingkaran Anda. Apakah hal-hal di sekitar Anda membatu Anda menuju sukses atau malah menahan Anda? (W. Clement Stone)
Kita harus saling memaafkan dan kemudian melupakan apa yang telah kita maafkan (Andrew Jackson)
Kebencian atau dendam tidak menyakiti orang yang tidak Anda sukai. Tetapi setiap hari dan setiap malam dalam kehidupan Anda, perasaan itu menggerogoti Anda (Norman Vincent Peale)
Jangan pernah berpisah tanpa ungkapan kasih sayang untuk dikenang. Mungkin saja perpisahan itu ternyata untuk selamanya (Jean Paul Reatcher)
Maut bukanlah kehilangan terbesar dalam hidup. Kehilangan terbesar adalah apa yang mati dalam sanubari sementara kita masih hidup (Norman Cousins)
Ada yang mengukur hidup mereka dari hari dan tahun. Yang lain dengan denyut jantung, gairah dan air mata. Tetapi ukuran sejati di bawah mentari adalah apa yang telah engkau lakukan dalam hidup ini untuk orang lain (Confusius)
Kita adalah apa yang kita kerjakan berulang kali. Dengan demikian, kecemerlangan bukan tindakan, tetapi kebiasaan (Aristoteles)
Seorang pemimpin adalah orang yang melihat lebih banyak dari pada yang dilihat orang lain, melihat lebih jauh dari pada yang dilihat orang lain, dan melihat sebelum orang lain melihat (Leroy Eims)
Jangan biarkan orang lain mempengaruhi ide dan keputusan Anda. Dalam lima tahun ke depan, Anda lah – bukan mereka – yang harus hidup dengan pilihan yang Anda buat (Sarah Brklacich)
Bukalah mata sewaktu berjalan, karena bisa saja Anda akan bertemu kesempatan. Adapun kesempatan itu sendiri buta. Peganglah erat-erat, karena kesempatan datang dan pergi tanpa memberitahu (Anonim)
Sifat cinta sama seperti sifat air dan tanah. Apabila Anda tidak cukup menggali, yang Anda peroleh adalah air yang keruh. Apabila Anda cukup menggali, yang Anda peroleh adalah air yang bersih dan jernih (Hazrat Inayat Khan)
Tak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras dan mau belajar dari kegagalan (Gen Collin Powel)
Kita datang ke dunia ini sendiri, dan sendiri pula kita meninggalkannya. Di antara pintu masuk dan pintu keluar, kita menghabiskan waktu lain untuk mencari persahabatan (E. M. Dooling)
Mereka yang tidak bisa memaafkan orang lain menghancurkan jembatan yang akan dilewatinya (Confusius)
Tuhan menganugerahi Anda wajah, tapi kita harus memberikannya ekspresi (Anonim)
Manusia tidak dirancang untuk gagal, tapi manusia-lah yang gagal untuk merancang (William J. Siegel)
Hati Anda belum hidup kalau belum pernah mengalami rasa sakit. Rasa sakit karena cinta akan membuka hati, bahkan bila hati itu sekeras batu (Hazrat Inayat Khan)
Motivasi Hidup ini hanya berlaku bagi orang berjiwa besar. Motivasi Hidup ini hanya berlaku bagi orang yang ingin berubah. Motivasi Hidup ini hanya berlaku bagi orang yang ingin hidupnya menjadi lebih baik. Motivasi Hidup ini hanya akan menjadi pemicu untuk bergerak menjadi lebih baik.
Sabtu, 20 November 2010
Carl Friedrich Gauss
“Matematika adalah ratu ilmu pengetahuan dan teori bilangan adalah ratu matematika”
(Mathematics is the Queen of the Sciences and Number Theory the Queen of Mathematics)
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss
(1777– 1855)
Masa kecil
Pada tahun 1777, lahirlah seorang anak jenius di Brunswick, Jerman. Gauss adalah nama anak itu. Orang tua Gauss adalah orang yang tidak berkecukupan. Kakek Gauss adalah petani miskin yang menetap di Brunswick sejak tahun 1740 yang bertahan hidup dengan menjadi tukang kebun. Anak kedua dari kakek ini, Gerhard Diederich, lahir tahun 1744 adalah ayahanda Gauss. Sehari-hari Gerhard bekerja lepas sebagai tukang kebun, menggali salokan dan terkadang menjadi tukang batu. Dorothea Benz, ibunda Gauss, adalah anak tukang perancah batu. Dorothea mempunyai adik laki, Friedrich, yang sangat cerdas dan selalu berupaya meningkatkan taraf hidupnya dengan menjadi pedagang taplak meja hasil tenunan. Friedrich adalah orang yang pertama kali mengenali bakat si genius kecil ini yang muncul sejak umur 3 tahun. Memahami kehebatan otak keponakannya ini, dia mengajarkan logika kepada Gauss, melakukan observasi terhadap obyek-obyek tertentu dan falsafah hidup. Semua dengan cepat mampu dipahami karena kemampuan otak fotografik Gauss.
Perilaku Gerhard yang kasar terhadap Gauss kecil ini selalu dihalangi oleh ibunya, meskipun mereka berdua berupaya keras jangan sampai Gauss kecil “mewarisi” profesi keluarga sebagai tukang kebun. Segala upaya dilakukan oleh Dorothea agar Gauss kecil dapat menggunakan kemampuannya secara optimal. Ketika Gauss berumur 19 tahun, Dorothea bertanya kepada matematikawan teman anaknya, Wolfgang Bolyai, tentang anaknya. Langsung menangis setelah mendengar jawaban Bolyai, “Gauss adalah matematikawan terbesar di Eropa.”
Selama 24 tahun, sebelum meninggal, Dorothea tinggal di rumah Gauss. Ketenaran tidak ada artinya bagi Gauss. Semua dipersembahkan untuk ibunya yang selalu melindunginya sejak kecil. Ketika ibunya buta, Gauss tetap merawat sampai meninggal pada tahun 1839 dalam usia 97 tahun. Peran dari ibu dan pamannya, Friedrich, sangatlah besar bagi Gauss.
Genius kecil
Berbeda dengan Archimedes atau Newton, Gauss menonjol sejak muda usia. Gauss menunjukkan kalibernya sejak umur tiga tahun. Saat ayahnya menerima upah mingguan yang sedang dihitung karena lembur, Gauss kecil ada dibelakangnya. Gerhard menerima upahnya tanpa menghitung, namun Gauss kecil menyebut bahwa perhitungan itu salah. Setelah dihitung ulang ternyata angka yang disebut Gauss kecil adalah yang benar. Genius kecil ini belajar membaca sama misterius dan sama mudahnya seperti dia belajar menjumlah. Sang ayah mengajari abjad, dimana dengan pengetahuan ini, Gauss belajar membaca sendiri. Tidak ada prestasi menonjol dari Gauss sampai usia sepuluh tahun. Setelah memasuki pelajaran aritmatika, bakatnya mulai muncul.
Umur 7 tahun, Carl dikirim ke sekolah lokal, dimana guru merupakan tirani yang hanya tahu melecut dengan cemeti guna mengajar anak. Suatu hari, untuk menjaga agar murid tetap sibuk, diberikan perintah agar semua anak menjumlah angka sebanyak 100 mulai dari 81297 + 91495 + 81693 + … + 100899. Semua angka mempunyai selisih 198. Setiap murid selesai, ditaruhkan batu tulis di atas meja guru; Guru itu, Buttner, menjelaskan hasilnya, Gauss meletakkan batu tulis di atas meja sambil berkata, “Itu salah.” Saat semua teman sekolahnya ke luar kelas, Gauss duduk dengan tangan terlipat, yang dipandang sinis oleh Buttner sambil berpikir, “Murid paling muda ini ternyata anak bodoh.” Guru itu melihat batu tulis Gauss yang tertulis sebuah angka. Setelah sekolah usai, Buttner akhirnya menyebutkan bahwa jawaban Gauss yang benar.
Terkejut dengan peristiwa ini, Buttner merelakan uang gajinya untuk membeli buku teks terbaik tentang aritmatika dan memberikan kepada Gauss sambil mengatakan, “Saya tidak dapat mengajar anak ini lagi.” Tidak sanggup lagi mengajari dan mengalihkan tanggung jawab ke asisten muda, Johann Martin Bartels [1969 – 1836]. Persahabatan remaja usia 17 tahun dengan anak 10 tahun ini berlangsung selama hidup Bartels. Mereka belajar bersama, saling membantu dan menulis pembuktian-pembuktian dalam bidang aljabar dan analisis dasar yang ada dalam semua buku teks.
Sedangkan Buttner, kemudian, berbicara kepada ayah Gauss untuk pendidikan lanjut anak genius ini. Mengetahui kenyataan ini, Gerhard mengubah rencana, dari keinginan semula menjadikan Gauss sebagai pedagang atau pekerja, berubah menjadi dokter atau pengacara bahkan profesor. Ada legenda yang menyatakan bahwa begitu sampai di rumah, setelah mendengar berita itu, Gerhard langsung merusak alat tenun yang biasa digunakan Gauss untuk membantu Friedrich menenum agar anak itu tidak dapat menggunakan lagi.
Mulai saat itu, Gauss menghabiskan banyak waktu untuk belajar. Saat malam tiba, dia berhenti belajar karena gelap dan tidur, karena tidak mampu membeli lilin untuk penerangan di malam hari. Kendala ini akhirnya dapat diatasi oleh Gauss dengan membuat lampu dari daun turnip yang diisi dengan minyak diberi sumbu terbuat dari kain perca bekas.
Mendapat “bea siswa”
Kejeniusan Gauss, laksana dongeng ini, terdengar oleh bangsawan Brunswick (Duke of Brunswick) bernama Ferdinand. Terkesima dengan berita itu, langsung mengirim pelayan agar mengundang Gaussl untuk tinggal di purinya. Pelayan yang kebingungan mencari alamat Gauss ini bertanya kepada saudara tiri Carl, Georg, bahwa Gauss dicari oleh Ferdinand. Georg protes bahwa barangkali salah orang, namun setelah dijelaskan akhirnya Georg mengantar pelayan itu menemui Gauss. Hubungan antara bangsawan ini dengan Gauss bertahan sampai bangsawan itu meninggal. Beberapa tahun kemudian, Gauss menjadi matematikawan terkenal di dunia, Georg sering mengatakan bahwa “Saya menjadi profesor; tawaran pertama datang kepada saya tapi saya tidak mau tinggal di puri.” Georg menjadi penjahit, setelah menjadi prajurit, dan pensiun menjadi tukang kebun.
Umur 12 tahun, Gauss sudah berani mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclidian. Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College, semua biaya ditanggung oleh Ferdinand, dengan mengambil jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika – Gerhard menyebut dengan bidang yang tidak membumi. Umur 16 tahun mulai menggagas geometri selain Euclid. Setahun berikutnya mencari “lubang-lubang” pembuktian teori bilangan yang memuaskan pada pendahulunya, namun dianggap hanya karya setengah jalan, sebelum memasuki bidang favorit, aritmatika. Tiga tahun kemudian, Gauss masuk universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan matematika atau jurusan bahasa yang akan dipilih. Keputusan memilih bidang matematika terjadi pada tanggal 30 Meret 1796, dimana pada hari itu Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris. Cara menggunakan kompas dan penggaris dimulai sejak jaman Archimedes ini, namun cara menggambar poligon ini baru ditemukan oleh Gauss. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar dari Gauss. Keputusan besar dan benar ini kemudian diikuti dengan janjinya untuk membuat catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Gauss remaja, seperti halnya Newton, adalah masa penuh ide dan sangat kreatif.
Karya pertama setelah lulus
Di universitas Gottingen, karya Gauss dapat diperbandingkan dengan karya para matematikawan lain dan hasilnya memang mencolok. Semakin dia membandingkan akhirnya dia menyadari bahwa dia adalah seorang matematikawan besar. Gauss selalu menyimpan semua penemuannya dan menyesal bahwa tidak seorangpun dapat berdiskusi tentang teori-teori yang menarik hatinya. Salah seorang teman baiknya di universitas adalah Wolfgang Bolyai, bangsawan Hongaria yang kelak anak lakinya [Janos Bolyai] menemukan geometri non-Euclidian. Bolyai sendiri mengagumi kejeniusan Gauss dan pernah mengunjungi rumah Gauss di Brunswick setelah ditanya oleh ibu Gauss, dengan jawaban bahwa, “Gauss adalah matematikawan terkemuka di Eropa.”
Umur 21 tahun, Gauss meninggalkan universitas dengan ucapan perpisahan dari Bolyai, ”Dituntun malaikat yang memberinya ketenaran dan kejayaan,” dan kembali ke Brunswick. Gauss tidak suka dengan ayahnya yang dianggapnya ingin mendominasi, kasar dan berkelakuan buruk, sehingga tinggal di rumah lain. Tidak lama setelah itu menulis surat kepada Bolyai yang menyebutkan bahwa saya tidak punya uang lagi. Mendengar keluhan ini Ferdinand mengirim uang dan menjamin bahwa Gauss jangan pernah berpikir tentang uang lagi. Beberapa bulan di rumah, Gauss pulang pergi ke Helmstedt, dimana dia belajar di perpustakaan. Perpustakaan milik universitas Helmstedt dikelola oleh matematikawan sekaligus pusatakawan, Johann Friedrich Pfaff [1765 – 8125], adalah paling lengkap untuk topik-topik matematika. Antar keduanya kemudian terjalin persahabatan. Pfaff, yang dikagumi oleh Gauss, kemudian disebut sebagai matematikawan paling terkenal di Jerman bukan karena keahlian matematika, tapi untuk kesederhanaan dan sikap terbuka.
Tidak lama makalah teori bilangan yang sudah pernah dirintisnya di Gottingen diterbitkan dengan judul Disquisitiones Arithmeticae, setelah tertunda selama tiga tahun akhirnya dicetak dan diterbitkan pada tahun 1801.
Disertasi
Nama Gauss mulai terkenal sehingga merencanakan menggunakan bahan-bahan dalam buku itu untuk disertasi doktoral, namun pihak penerbit menolak. Dicari judul lain sebelum akhirnya didapat judul panjang, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang terbit lebih awal, tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.
Untuk bilangan riil:
x4 + 2x³ + 9 = 0 akan mempunyai 4 hasil (bilangan) akar
x³ + x² + 2x + 4 = 0 akan mempunyai 3 hasil (bilangan) akar.
Untuk bilangan imajiner:
x² + 4 = 0 tidak dapat diselesaikan apabila bilangan riil yang dipakai.
Hasil yang diperoleh adalah x = ± √-4, atau x = ± 2√-1. Seperti dinyatakan oleh Euler bahwa ekspresi √- 1 dan √-2 tidak dimungkinkan atau merupakan bilangan-bilangan imajiner, karena akar bilangan adalah negatif; sesuatu tidak ada apa-apa (nothing) karena bukan bilangan dan bukan pula bilangan yang lebih besar dari sesuatu tidak ada (nothing).* Gauss menyatakan bahwa bilangan negatif juga termasuk dalam sistim bilangan.
Tidak lama setelah terbitnya Disquisitiones Arithmeticae, Gauss menjadi pengajar dan menulis makalah singkat berjudul The Metaphysics of Mathematics, yang disebut sebagai salah satu uraian singkat dan jelas yang pernah ditulis tentang dasar-dasar matematika. Penyederhanaan ini dimaksudkan pada keyakinan bahwa akan memudahkan mahasiswa belajar matematika.
PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI
Matematika adalah sebuah studi mengenai keterkaitan antar objek. Matematika juga dikenal sebagai ilmu yang mempunyai kerangka berpikir deduktif, tidak induktif. Artinya, dari suatu hal yang bersifat umum menuju khusus. Akibatnya, dalam matematika tidak diperkenankan untuk melakukan generalisasi. Contohnya, perhatikan beberapa data di bawah.
1+3=5
3+5=8
5+7=12
7+9=16
9+11=20
Dari data di atas, kita lihat bahwa jika bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil, akan menghasilkan bilangan genap. Namun dalam matematika tidak diperbolehkan mengatakan penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap hanya berdasarkan data di atas. Satu-satunya cara adalah dengan pembuktian.
Apa itu pembuktian? Dalam matematika, pembuktian adalah kegiatan seseorang untuk meyakinkan sesuatu itu benar melalui langkah-langkah logis. Untuk menunjukkan sesuatu itu salah, cukup menunjukkan countre example, yaitu menunjukkan bahwa ada satu keadaan dimana suatu pernyataan tidak berlaku.
Ada berbagai macam teknik pembuktian dalam matematika. Ditinjau dari caranya, ada dua jenis pembuktian, yaitu pembuktian langsung dan pembuktian tak langsung. Untuk pembuktian tidak langsung sendiri ada dua cara, yaitu dengan kontradiksi dan kontrapositif. Namun kali ini yang akan saya bahas cuma pembuktian dengan kontradiksi. Ok, apa itu pembuktian dengan kontradiksi? Perhatikan contoh berikut.
Ketika Budi sedang asik membaca di kamar, tiba-tiba listrik di rumah Budi mati. Budi ingin tahu apakah yang mati cuma listrik di rumahnya atau memang mati dari pusat. Kemudian ia melihat keluar jendela. Ternyata listrik rumah di sekitar rumah Budi hidup. Lalu ia menyimpulkan bahwa yang mati hanya listrik di rumahnya.
Dari contoh di atas terliggat bahwa untuk membuktikan bahwa hanya listrik di rumah Budi yang mati, ia harus mengecek listrik di rumah sekitarnya. Artinya, perlu pemisalan negasi dari pernyataan yang ingin dibuktikan, yaitu misalkan tidak benar bahwa listrik yang mati hanya di rumah Budi. Dengan kata lain pemadaman listrik terjadi dari pusat. Akibatnya, rumah di sekitar Budi juga listriknya harus mati. Ternyata ketika ia melihat keluar jendela, listrik di sekitar rumah Budi masih hidup. Berarti hanya rumah anda yang listriknya mati. Keadaan ini yang disebut kontradiksi.
Dalam ilmu logika, jika pernyataan yang ingin dibuktikan berbentuk implikasi p q, maka yang harus dibuktikan adalah q. Untuk membuktikan dengan kontradiksi, kita harus memisalkan ~q. kemudian perlihatkan bahwa ~q bertentangan dengan p. Contoh di atas, jika kita misalkan p : listrik mati dari pusat dan q : listrik rumah sekitar Budi mati, maka akan membentuk pernyataan implikasi p q, yaitu “jika listrik mati dari pusat, maka listrik rumah sekitar Budi mati”. Tapi ternyata yang terjadi adalah ~q, yaitu listrik sekitar rumah Budi tidak mati. Jadi kesimpulannya adalah ~p, yaitu listrik tidak mati dari pusat.
Berikut ini adalah contoh pembuktian dengan kontradiksi dalam konteks matematika. Pembuktian ini mungkin yang paling sering dijadikan contoh pembuktian dengan kontradiksi.
1. Buktikan bahwa √2 adalah irrasional.
Bukti :
Andaikan √2 adalah rasional, maka √2 dapat dinyatakan sebagai √2 = p/q dengan p,q€Z dan p dan q relative prima. Kuadratkan kedua ruas, didapat
2=(p^2)/(q^2) 2(q^2)=p^2
Karena 2(q^2) adalah genap, maka p^2 juga genap dan juga p genap. Akibatnya p=2r, r€Z.
2q^2=p^2
2q^2=(2r)^2
2q^2=4r^2
q=2r
persamaan terakhir mengatakan bahwa q juga merupakan bilangan kelipatan 2. Berarti, p dan q sama-sama mempunyai factor kelipatan selain 1. Akibatnya p dan q tidak relative prima. Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa p dan q relative prima. Jadi, haruslah √2 irrasional.
Minggu, 10 Oktober 2010
ANGKA-ANGKA SUPER UNIK
Fakta 1
123456789 x 0.9 = 11111111
123456789 x 1.8 = 22222222
123456789 x 2.7 = 33333333
123456789 x 3.6 = 44444444
123456789 x 4.5 = 55555555
123456789 x 5.4 = 66666666
123456789 x 6.3 = 77777777
123456789 x 7.2 = 88888888
123456789 x 8.1 = 99999999
Fakta 2
Kadang bilangan dan angka-angka penyusunnya mempunyai hubungan tertentu.
3 DIGIT (angka)
135 = 1^1 + 3^2 + 5^3
175 = 1^1 + 7^2 + 5^3
518 = 5^1 + 1^2 + 8^3
598 = 5^1 + 9^2 + 8^3
4 DIGIT (angka)
1306 = 1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4
1676 = 1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4
2427 = 2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4
Lebih unik lagi
3435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5
123456789 x 0.9 = 11111111
123456789 x 1.8 = 22222222
123456789 x 2.7 = 33333333
123456789 x 3.6 = 44444444
123456789 x 4.5 = 55555555
123456789 x 5.4 = 66666666
123456789 x 6.3 = 77777777
123456789 x 7.2 = 88888888
123456789 x 8.1 = 99999999
Fakta 2
Kadang bilangan dan angka-angka penyusunnya mempunyai hubungan tertentu.
3 DIGIT (angka)
135 = 1^1 + 3^2 + 5^3
175 = 1^1 + 7^2 + 5^3
518 = 5^1 + 1^2 + 8^3
598 = 5^1 + 9^2 + 8^3
4 DIGIT (angka)
1306 = 1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4
1676 = 1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4
2427 = 2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4
Lebih unik lagi
3435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5
Rabu, 25 Agustus 2010
CARA BERHITUNG CEPAT
Perkalian 9, 99, atau 999
Mengalikan dengan 9 sebenarnya adalah mengalikan dengan 10-1.
Jadi, 9×9 sama saja dengan 9 x (10-1) = 9×10-9 = 90-9 = 81.
Ayo coba contoh yang lebih sulit:
46×9 = 46× (10-1) = 460-46 = 414.
Satu contoh lagi:
68×9 = 680-68 = 612.
Untuk perkalian 99, artinya kita mengalikan dengan 100-1.
Jadi, 46×99 = 46 x (100-1) = 4600-46 = 4554.
Kalo udah gitu, kalian semua pasti tahu bahwa perkalian 999 sama dengan perkalian 1000-1
38×999 = 38 x (1000-1) = 38000-38 = 37962.
Masih bisa ngikuti? ayo kita lanjut
Perkalian 11
Perkalian 11 artinya kita menjumlahkan sepasang angka, kecuali bagi angka yang ada di bagian ujung. Lebih jelasnya gw jelasin di bawah ini :
Untuk perkalian 436 dengan 11 mulailah dari kanan ke kiri (selalu dari kanan ke kiri ya...)
Pertama tulis 6 lalu jumlahkan 6 dengan angka di sebelahnya yaitu 3 sehingga didapatkan angka 9.
Tuliskan 9 disebelah kiri 6.
Lalu jumlahkan 3 dengan 4 untuk mendapat angka 7. Tuliskan angka 7.
Terakhir tuliskan angka yang paling kiri yaitu 4.
Jadi, 436×11 = 4796.
Ayo kita buat contoh yang lebih sulit:
3254×11.
(3)(3+2)(2+5)(5+4)(4) = 35794.
Ingat selalu mulai dari kanan ke kiri yak!
Sekarang contoh yang lebih sulit lagi:
4657×11.
(4)(4+6)(6+5)(5+7)(7).
Mulai dari kanan tuliskan angka 7.
Lalu 5+7=12.
Tuliskan 2 dan simpan angka 1.
6+5 = 11, tambah 1 yang tadi kita simpan = 12.
Sekali lagi tuliskan 2 dan simpan 1.
4+6 = 10, tambah 1 yang tadi kita simpan = 11.
So, tuliskan 1 dan simpan 1.
Terakhir angka paling kiri, 4, tambahkan dengan 1 yang tadi kita simpan.
Jadilah, 4657×11 = 51227 .
Hehehe, mantepkan? ini masih ga terlalu sulit...ayo jalan lagi
Perkalian 5, 25, or 125
Perkalian dengan 5 sama saja mengalikan dengan 10 lalu di bagi 2. Sebagai catatan, untuk perkalian dengan 10 cukup tambahkan 0 di dibagian belakang angka
Contoh :
1000 x 5 = 5000
Lagi, 12×5 = (12×10)/2 = 120/2 = 60.
Contoh yang lain:
64×5 = 640/2 = 320.
Juga, 4286×5 = 42860/2 = 21430.
Untuk perkalian 25, sama saja kita kalikan dengan 100 (tambahkan dua angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 4. CATATAN : Untuk pembagian dengan 4, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak dua kali
64×25 = 6400/4 = 3200/2 = 1600.
58×25 = 5800/4 = 2900/2 = 1450.
Untuk perkalian 125, sama saja kita kalikan dengan 1000 (tambahkan tiga angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 8. CATATAN : Untuk pembagian dengan 8, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak tiga kali
32×125 = 32000/8 = 16000/4 = 8000/2 = 4000.
48×125 = 48000/8 = 24000/4 = 12000/2 = 6000.
Mudah kan? hehehe melangkah lagi!
Mengalikan dua bilangan yang mempunyai selisih 2, 4, atau 6
Untuk perkalian seperti ini gw langsung kasi contoh ya
Ambil contoh : 12×14. (14 - 12 = 2...jadi metode ini bisa dipakai)
Pertama kita cari angka tengah antara 12 dan 14...So,
12
13
14
(artinya 13 adalah angka tengah), berikutnya kita tinggal membuat perkalian 13 x 13 lalu di kurangi 1...
12×14 = (13×13)-1 = 168.
16×18 = (17×17)-1 = 288.
99×101 = (100×100)-1 = 10000-1 = 9999
Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 4, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 4,
Ok ini contohnya :
11×15 = (13×13)-4 = 169-4 = 165.
13×17 = (15×15)-4 = 225-4 = 221.
Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 6, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 9,
Ok ini contohnya :
12×18 = (15×15)-9 = 216.
17×23 = (20×20)-9 = 391.
Hehehe...trik ini bisa di pakai bukan hanya untuk belasan tapi bisa sampai ribuan...
Pemangkatan bilangan puluhan yang berakhiran 5
Untuk yang ini bener2 gampang kok..
Contoh kita mau ngitung berapakah 35 x 35
Kita tinggal mengalikan 3 x 4 = 12 (angka 4 di dapat dari 3 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 35 x 35 = 1225
Mudahkan?
Contoh lagi : 65 x 65
Kalikan 6 x 7 = 42 (angka 7 di dapat dari 6 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 65 x 65 = 4225
Dari situ kita tahu bahwa pemangkatan bilangan puluhan berakhiran 5 pasti angka belakangnya 25
So, 85 x 85 = 7225 (tahukan dari mana dapetinnya?)
Perkalian puluhan dimana digit pertama adalah sama dan jumlah digit kedua adalah 10
Contohnya kita ingin mengalikan 42 x 48...
Disini terlihat bahwa digit pertama puluhan di atas adalah sama yaitu 4
sedangkan jumlah dari digit kedua adalah 2 + 8 = 10
Cara cepatnya sederhana saja :
Kita kalikan 4 dengan 4+1 Jadi gini hasilnya 4 x (4+1) = 4 x 5 = 20
Tuliskan angka 20
Lanjut lagi kalikan 2 dengan 8 Jadi gini hasilnya 2 x 8 = 16
Tuliskan angka 16
Jadilah 42 x 48 = 2016
Gampang kan? contoh lagi
64 x 66
Kita buat
6 x (6+1) = 6 x 7 = 42
6 x 4 = 24
Hasilnya
64 x 66 = 4224
Masih bingung?
Contoh lagi :
83 x 87
Rumusnya...
8 x (8+1) = 8 x 9 = 72
3 x 7 = 21
Hasilnya
83 x 87 = 7221
Ok ? Hehehehe... ajarkan ini ke putra putri anda
Nah untuk yang berikut ini agak sedikit rumit...tapi kalo disimak bisa kok bro
Pemangkatan Puluhan
Ini perlu sedikit konsentrasi. Ambil contoh kita ingin melakukan pemangkatan 58 alias 58 x 58
Langkah 1 :
Kalikan 5 dengan 5, 5 x 5 = 25
Kalikan 8 dengan 8, 8 x 8 = 64
Tuliskan ke dua hasil tadi dan jadilah 2564
Langkah 2 :
Kalikan 5 dengan 8 = 40
Gandakan hasil tersebut, 40 x 2 = 80
Tambahkan 1 angka 0, jadilah 800
Langkah 3 :
Jumlahkan 2564 dengan 800, 2564 + 800 = 3364
Itulah hasilnya 58 x 58 = 3364
Hehehe....masih bingung?
yuk contoh lagi yuk
32 x 32
Langkah 1 :
3 x 3 = 9 ----> tapi tuliskan 09 ya supaya 2 digit bisa tercipta
2 x 4 = 4 ----> tapi tuliskan 04 ya supaya 2 digit bisa tercipta
Kedua hasil di tulis menjai 0904
Langkah 2 :
3 x 2 = 6 GANDAKAN 6 x 2 = 12
Tambahkan satu 0 dibelakangnya dan jadilah 120
Langkah 3 :
120 + 0904 ----> artinya 120 + 904 = 1024
Itulah hasilnya 32 x 32 = 1024
Mantep kan?
Mau coba lagi?
Boleh!
67 x 67
6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
Jadi, 3649
6 x 7 x 2 = 84 tambah satu 0 jadi 840
3649 + 840 = 4489
Sehingga 67 x 67 = 4489
Kalikan dengan 2, bagi dengan 2
Kalau anak2 kita mengalami kesulitan pengalian yang besar kita bisa ajarkan ke mereka untuk membagi dengan 2 dan mengalikan dengan 2
Ini contohnya : kita ingin mengalikan 14 x 16
Maka yang kita lakukan adalah...kalikan salah satu (antara 14 atau 16) dengan 2, dan bagikan salah satu (14 atau 16) dengan 2, hingga kita mendapatkan perkalian yang mudah
14×16 = 28×8 = 56×4 = 112×2 = 224.
Contoh lain: 12×15 = 6×30 = 180
48×17 = 24×34 = 12×68 = 6×136 = 3×272 = 816.
Pada dasarnya lebih mudah menghitung 6 x 30 dari pada 12 x 15 kan?
Lebih mudah menghitung 122 x 2 dari pada 14 x 16
Setuju?
Contoh yang sangat mudah tapi bermanfaat
Mengalikan dengan 9 sebenarnya adalah mengalikan dengan 10-1.
Jadi, 9×9 sama saja dengan 9 x (10-1) = 9×10-9 = 90-9 = 81.
Ayo coba contoh yang lebih sulit:
46×9 = 46× (10-1) = 460-46 = 414.
Satu contoh lagi:
68×9 = 680-68 = 612.
Untuk perkalian 99, artinya kita mengalikan dengan 100-1.
Jadi, 46×99 = 46 x (100-1) = 4600-46 = 4554.
Kalo udah gitu, kalian semua pasti tahu bahwa perkalian 999 sama dengan perkalian 1000-1
38×999 = 38 x (1000-1) = 38000-38 = 37962.
Masih bisa ngikuti? ayo kita lanjut
Perkalian 11
Perkalian 11 artinya kita menjumlahkan sepasang angka, kecuali bagi angka yang ada di bagian ujung. Lebih jelasnya gw jelasin di bawah ini :
Untuk perkalian 436 dengan 11 mulailah dari kanan ke kiri (selalu dari kanan ke kiri ya...)
Pertama tulis 6 lalu jumlahkan 6 dengan angka di sebelahnya yaitu 3 sehingga didapatkan angka 9.
Tuliskan 9 disebelah kiri 6.
Lalu jumlahkan 3 dengan 4 untuk mendapat angka 7. Tuliskan angka 7.
Terakhir tuliskan angka yang paling kiri yaitu 4.
Jadi, 436×11 = 4796.
Ayo kita buat contoh yang lebih sulit:
3254×11.
(3)(3+2)(2+5)(5+4)(4) = 35794.
Ingat selalu mulai dari kanan ke kiri yak!
Sekarang contoh yang lebih sulit lagi:
4657×11.
(4)(4+6)(6+5)(5+7)(7).
Mulai dari kanan tuliskan angka 7.
Lalu 5+7=12.
Tuliskan 2 dan simpan angka 1.
6+5 = 11, tambah 1 yang tadi kita simpan = 12.
Sekali lagi tuliskan 2 dan simpan 1.
4+6 = 10, tambah 1 yang tadi kita simpan = 11.
So, tuliskan 1 dan simpan 1.
Terakhir angka paling kiri, 4, tambahkan dengan 1 yang tadi kita simpan.
Jadilah, 4657×11 = 51227 .
Hehehe, mantepkan? ini masih ga terlalu sulit...ayo jalan lagi
Perkalian 5, 25, or 125
Perkalian dengan 5 sama saja mengalikan dengan 10 lalu di bagi 2. Sebagai catatan, untuk perkalian dengan 10 cukup tambahkan 0 di dibagian belakang angka
Contoh :
1000 x 5 = 5000
Lagi, 12×5 = (12×10)/2 = 120/2 = 60.
Contoh yang lain:
64×5 = 640/2 = 320.
Juga, 4286×5 = 42860/2 = 21430.
Untuk perkalian 25, sama saja kita kalikan dengan 100 (tambahkan dua angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 4. CATATAN : Untuk pembagian dengan 4, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak dua kali
64×25 = 6400/4 = 3200/2 = 1600.
58×25 = 5800/4 = 2900/2 = 1450.
Untuk perkalian 125, sama saja kita kalikan dengan 1000 (tambahkan tiga angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 8. CATATAN : Untuk pembagian dengan 8, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak tiga kali
32×125 = 32000/8 = 16000/4 = 8000/2 = 4000.
48×125 = 48000/8 = 24000/4 = 12000/2 = 6000.
Mudah kan? hehehe melangkah lagi!
Mengalikan dua bilangan yang mempunyai selisih 2, 4, atau 6
Untuk perkalian seperti ini gw langsung kasi contoh ya
Ambil contoh : 12×14. (14 - 12 = 2...jadi metode ini bisa dipakai)
Pertama kita cari angka tengah antara 12 dan 14...So,
12
13
14
(artinya 13 adalah angka tengah), berikutnya kita tinggal membuat perkalian 13 x 13 lalu di kurangi 1...
12×14 = (13×13)-1 = 168.
16×18 = (17×17)-1 = 288.
99×101 = (100×100)-1 = 10000-1 = 9999
Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 4, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 4,
Ok ini contohnya :
11×15 = (13×13)-4 = 169-4 = 165.
13×17 = (15×15)-4 = 225-4 = 221.
Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 6, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 9,
Ok ini contohnya :
12×18 = (15×15)-9 = 216.
17×23 = (20×20)-9 = 391.
Hehehe...trik ini bisa di pakai bukan hanya untuk belasan tapi bisa sampai ribuan...
Pemangkatan bilangan puluhan yang berakhiran 5
Untuk yang ini bener2 gampang kok..
Contoh kita mau ngitung berapakah 35 x 35
Kita tinggal mengalikan 3 x 4 = 12 (angka 4 di dapat dari 3 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 35 x 35 = 1225
Mudahkan?
Contoh lagi : 65 x 65
Kalikan 6 x 7 = 42 (angka 7 di dapat dari 6 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 65 x 65 = 4225
Dari situ kita tahu bahwa pemangkatan bilangan puluhan berakhiran 5 pasti angka belakangnya 25
So, 85 x 85 = 7225 (tahukan dari mana dapetinnya?)
Perkalian puluhan dimana digit pertama adalah sama dan jumlah digit kedua adalah 10
Contohnya kita ingin mengalikan 42 x 48...
Disini terlihat bahwa digit pertama puluhan di atas adalah sama yaitu 4
sedangkan jumlah dari digit kedua adalah 2 + 8 = 10
Cara cepatnya sederhana saja :
Kita kalikan 4 dengan 4+1 Jadi gini hasilnya 4 x (4+1) = 4 x 5 = 20
Tuliskan angka 20
Lanjut lagi kalikan 2 dengan 8 Jadi gini hasilnya 2 x 8 = 16
Tuliskan angka 16
Jadilah 42 x 48 = 2016
Gampang kan? contoh lagi
64 x 66
Kita buat
6 x (6+1) = 6 x 7 = 42
6 x 4 = 24
Hasilnya
64 x 66 = 4224
Masih bingung?
Contoh lagi :
83 x 87
Rumusnya...
8 x (8+1) = 8 x 9 = 72
3 x 7 = 21
Hasilnya
83 x 87 = 7221
Ok ? Hehehehe... ajarkan ini ke putra putri anda
Nah untuk yang berikut ini agak sedikit rumit...tapi kalo disimak bisa kok bro
Pemangkatan Puluhan
Ini perlu sedikit konsentrasi. Ambil contoh kita ingin melakukan pemangkatan 58 alias 58 x 58
Langkah 1 :
Kalikan 5 dengan 5, 5 x 5 = 25
Kalikan 8 dengan 8, 8 x 8 = 64
Tuliskan ke dua hasil tadi dan jadilah 2564
Langkah 2 :
Kalikan 5 dengan 8 = 40
Gandakan hasil tersebut, 40 x 2 = 80
Tambahkan 1 angka 0, jadilah 800
Langkah 3 :
Jumlahkan 2564 dengan 800, 2564 + 800 = 3364
Itulah hasilnya 58 x 58 = 3364
Hehehe....masih bingung?
yuk contoh lagi yuk
32 x 32
Langkah 1 :
3 x 3 = 9 ----> tapi tuliskan 09 ya supaya 2 digit bisa tercipta
2 x 4 = 4 ----> tapi tuliskan 04 ya supaya 2 digit bisa tercipta
Kedua hasil di tulis menjai 0904
Langkah 2 :
3 x 2 = 6 GANDAKAN 6 x 2 = 12
Tambahkan satu 0 dibelakangnya dan jadilah 120
Langkah 3 :
120 + 0904 ----> artinya 120 + 904 = 1024
Itulah hasilnya 32 x 32 = 1024
Mantep kan?
Mau coba lagi?
Boleh!
67 x 67
6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
Jadi, 3649
6 x 7 x 2 = 84 tambah satu 0 jadi 840
3649 + 840 = 4489
Sehingga 67 x 67 = 4489
Kalikan dengan 2, bagi dengan 2
Kalau anak2 kita mengalami kesulitan pengalian yang besar kita bisa ajarkan ke mereka untuk membagi dengan 2 dan mengalikan dengan 2
Ini contohnya : kita ingin mengalikan 14 x 16
Maka yang kita lakukan adalah...kalikan salah satu (antara 14 atau 16) dengan 2, dan bagikan salah satu (14 atau 16) dengan 2, hingga kita mendapatkan perkalian yang mudah
14×16 = 28×8 = 56×4 = 112×2 = 224.
Contoh lain: 12×15 = 6×30 = 180
48×17 = 24×34 = 12×68 = 6×136 = 3×272 = 816.
Pada dasarnya lebih mudah menghitung 6 x 30 dari pada 12 x 15 kan?
Lebih mudah menghitung 122 x 2 dari pada 14 x 16
Setuju?
Contoh yang sangat mudah tapi bermanfaat
SATU LAGI YANG UNIK
Selain membentuk pola ke bawah juga pola untuk angka yg ditukar
12^2=144 and 21^2=441
102^2=10404 and 201^2=40401
1002^2=1004004 and 2001^2=4004001
10002^2=100040004 and 20001^2=400040001
100002^2=10000400004 and 200001^2=40000400001 etc
membentuk pola
13^2=169 and 31^2=961
103^2=10609 and 301^2=90601
1003^2=1006009 and 3001^2=9006001
10003^2=100060009 and 30001^2=900060001
100003^2=10000600009 and 300001^2=90000600001 dst
akan membentuk pola, yang aneh bisa bolak balik.
112^2=12544 and 211^2=44521
10102^2=102050404 and 20101^2=404050201 dst
akan membentuk pola juga
113^2=12769 and 311^2=06721
10103^2=102070609 and 30101^2=906070201
akan membentuk pola
12^2=144 and 21^2=441
102^2=10404 and 201^2=40401
1002^2=1004004 and 2001^2=4004001
10002^2=100040004 and 20001^2=400040001
100002^2=10000400004 and 200001^2=40000400001 etc
membentuk pola
13^2=169 and 31^2=961
103^2=10609 and 301^2=90601
1003^2=1006009 and 3001^2=9006001
10003^2=100060009 and 30001^2=900060001
100003^2=10000600009 and 300001^2=90000600001 dst
akan membentuk pola, yang aneh bisa bolak balik.
112^2=12544 and 211^2=44521
10102^2=102050404 and 20101^2=404050201 dst
akan membentuk pola juga
113^2=12769 and 311^2=06721
10103^2=102070609 and 30101^2=906070201
akan membentuk pola
Langganan:
Postingan (Atom)